1 00:00:55,00 --> 00:01:01,00 La tassellazione di Danzer è un modo NON PERIODICO 2 00:01:01,00 --> 00:01:07,00 di riempire lo spazio utilizzando quattro tasselli tetraedrici 3 00:01:07,00 --> 00:01:10,00 e la loro immagine speculare 4 00:01:10,00 --> 00:01:15,00 Condivide analogie sorprendenti con la tassellazione del piano 5 00:01:15,00 --> 00:01:20,00 con "frecce" e "aquiloni" ideata da Penrose 6 00:01:20,00 --> 00:01:24,00 e i tasselli di Danzer possono esserne considerati 7 00:01:24,00 --> 00:01:28,00 la controparte tridimensionale. 8 00:01:28,00 --> 00:01:33,00 Vedremo più avanti come ottenere i quattro tasselli ottaedrici 9 00:01:33,00 --> 00:01:37,00 e come con questi si possa riempire lo spazio 10 00:02:00,00 --> 00:02:04,00 Il tassello K si può ottenere da un parallelepipedo di lati 11 00:02:04,00 --> 00:02:08,00 uno, phi e phi quadro, aste blu, tagliato lungo le diagonali 12 00:02:08,00 --> 00:02:12,00 l'asta gialla ad esempio collega i vertici liberi dei lati 1 e phi quadro 13 00:02:14,00 --> 00:02:18,00 I colori delle aste corrispondono al set "zometool" 14 00:02:18,00 --> 00:02:22,00 ad esempio le aste blu hanno varie lunghezze che stanno tra loro 15 00:02:22,00 --> 00:02:26,00 come le potenze del rapporto aureo 16 00:02:28,00 --> 00:02:31,00 Analogamente per le aste rosse e gialle. 17 00:02:31,00 --> 00:02:36,00 Gli angoli diedri dei tasselli sono legati ai colori. Blu = 90 gradi 18 00:02:36,00 --> 00:02:40,00 Giallo = 60 o 120 gradi. Rosso = 72 o 144 gradi 19 00:02:42,00 --> 00:02:48,00 Questo è il tassello con il comportamento più complesso, 20 00:02:48,00 --> 00:02:54,00 ma è anche quello meno utilizzato nel processo di suddivisione 21 00:03:01,00 --> 00:03:06,00 Il processo di suddivisione permette di ricostruire il tassello K 22 00:03:06,00 --> 00:03:11,00 con copie più piccole dei tasselli K e B 23 00:03:11,00 --> 00:03:16,00 Il fattore di scala è l'onnipresente rapporto aureo 24 00:03:23,00 --> 00:03:27,00 Il tassello B si suddivide in maniera più complessa, 25 00:03:27,00 --> 00:03:31,00 si utilizzano 4 copie (più piccole) del tassello K, 26 00:03:31,00 --> 00:03:35,00 due copie del tassello B 27 00:03:35,00 --> 00:03:38,00 e un tassello C. 28 00:03:38,00 --> 00:03:42,00 Il fattore di scala è sempre il rapporto aureo 29 00:03:45,00 --> 00:03:49,00 Per il tassello C servono due tasselli K, 30 00:03:49,00 --> 00:03:52,00 due tasselli C (più piccoli) 31 00:03:52,00 --> 00:03:56,00 e un tassello A 32 00:04:07,00 --> 00:04:13,00 Infine il tassello A richiede ben 6 copie del tassello K, 33 00:04:13,00 --> 00:04:16,00 tre del tassello B 34 00:04:16,00 --> 00:04:20,00 e due del tassello C 35 00:04:32,00 --> 00:04:37,00 Applicazioni successive del procedimento di deflazione 36 00:04:37,00 --> 00:04:42,00 portano ad una struttura sempre più fitta che, se dilatata, 37 00:04:42,00 --> 00:04:46,00 riempie tutto lo spazio. 38 00:04:47,00 --> 00:04:55,00 Qui vediamo il risultato di sei suddivisioni successive a partire dal tassello A 39 00:05:51,00 --> 00:05:55,00 otto copie del tassello K (di cui 4 sono speculari) 40 00:05:55,00 --> 00:05:59,00 incollate attorno alle aste blu 41 00:05:59,00 --> 00:06:04,00 formano il primo dei quattro ottaedri di Danzer, indicato con [K] 42 00:07:01,00 --> 00:07:05,00 Per costruire l'ottaedro [B] si utilizzano quattro copie 43 00:07:05,00 --> 00:07:09,00 (due di queste sono speculari) del tassello B 44 00:07:09,00 --> 00:07:14,00 incollate attorno al segmento blu 45 00:07:49,00 --> 00:07:54,00 Notiamo che l'ottaedro [B] non è convesso 46 00:07:56,00 --> 00:08:00,00 L'ottaedro [C] si ottiene con quattro copie 47 00:08:00,00 --> 00:08:04,00 del tassello C 48 00:08:04,00 --> 00:08:09,00 Si ottiene un ottaedro convesso 49 00:08:51,00 --> 00:08:55,00 L'ottaedro [A] si ottiene con quattro copie 50 00:08:55,00 --> 00:08:59,00 del tassello A 51 00:08:59,00 --> 00:09:04,00 Si ottiene un ottaedro NON convesso 52 00:09:52,00 --> 00:09:57,00 Il processo di suddivisione può essere definito sugli ottaedri 53 00:09:57,00 --> 00:10:02,00 Il tassello [K] si può ottenere con un tassello [K] (più piccolo) 54 00:10:02,00 --> 00:10:07,00 e due tasselli [B] 55 00:10:14,00 --> 00:10:18,00 Il tassello [B] si costruisce con due [K], 56 00:10:18,00 --> 00:10:22,00 due [B] (più) piccoli e un [C] 57 00:10:22,00 --> 00:10:27,00 Attenzione, però, si ottiene alla fine una versione deformata di [B] 58 00:10:27,00 --> 00:10:31,00 con parti incavate perfettamente bilanciate da parti sporgenti 59 00:10:36,00 --> 00:10:40,00 Per il tassello [C] servono un tassello [K], 60 00:10:40,00 --> 00:10:43,00 due tasselli [C] (più piccoli) 61 00:10:43,00 --> 00:10:47,00 e un tassello [A] 62 00:10:48,00 --> 00:10:54,00 Anche in questo caso ci sono parti incavate e parti sporgenti 63 00:10:58,00 --> 00:11:04,00 Infine il tassello [A] richiede 3 copie del tassello [K], 64 00:11:04,00 --> 00:11:07,00 tre del tassello [B] 65 00:11:07,00 --> 00:11:11,00 e due del tassello [C] 66 00:11:23,00 --> 00:11:28,00 La forma delle sporgenze e incavi nella suddivisione di [B], [C], [A] è accuratamente studiata 67 00:11:28,00 --> 00:11:33,00 in modo da combaciare perfettamente durante il processo iterativo. 68 00:11:33,00 --> 00:11:38,00 Non rimangono interstizi e non si creano compenetrazioni. 69 00:11:48,00 --> 00:11:53,00 Iterando più volte il processo di suddivisione sui tasselli ottaedrici 70 00:11:53,00 --> 00:11:58,00 Si ottengono forme frattali somiglianti a delle rocce 71 00:12:57,00 --> 00:13:02,00 Nonostante l'apparente complessità, le forme dei tasselli 72 00:13:02,00 --> 00:13:07,00 combaciano perfettamente tra di loro